介率θ收敛性的严格证明

郭敦顒《哥德巴赫猜想证明要点》（2018修正版）中载有——

“2.4 介率

2.4.1 介率的基本概念

定义2.8 在狭义偶数2N古典筛法中的的余数剩余率φ与奇合数剩余率μJ之比称为介率，记为θJ，简记为θ。

θ=φ/μJ =∏[（pk－2）／（pk－1）］/∏（1－1／pk） （2.4.1.1）

θ=∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²] （2.4.1.2）

在pk中，k=1，2，3，…，n，…

2.4.2 介率的收敛性

定理2.4介率具有收敛性

当pn→∞时，0.6601621＜θ＜0.6601622.

介率收敛性的证明，见郭敦颙著《哥德巴赫猜想证明》第四章.

通常θ取值为0.66.

2.4.2 介率的应用——公式变换

φ=∏[（pk－2）／（pk－1）］=θ∏（1－1／pk） （2.4.2.1）

∏[（pk－2）／（pk－1）］=0.66∏（1－1／pk） （2.5.2.2）”

介率的作用重大，在给出上面的“介率的应用——公式变换”的公式后，进一步则推导得出——

狭义偶数2N和素对素数个数的解析式近似值公式

P1+1 P（2N．pk∤2N）≈1.32（2N）/[ In(2N)] ² （2.7.3）

当pk∤2N，k＝1,…,n，pn＝pmax＜√（2N），p1=3．

其中1.32=2θ.

由此更进一步推导得到“偶数的和素对素数定理” ——

即公式（4.3.1）：

P1+1 P（2N）＞(3/4) •1.32•2N/[ln（2N）] ² ，2N＞11，

即P1+1 P（2N）＞1.98N/[ln（2N）] ² ，2N＞11;

亦表达为：“任一大于11的偶数2N内和素对的对数P1+1（2N）均大于0.99N/ [ln（2N）] ²”，

P1+1（2N）＞0.99N/[ln（2N）] ² ，2N＞11.

这使得对哥德巴赫猜想证明成立的数学表达式极为简洁.

“介率收敛性的证明，见郭敦颙著《哥德巴赫猜想证明》第四章.”但这个证明是用逐步逼近法计算得到的,于是有

当pn→∞时，0.6601621＜θ＜0.6601622.

作为计算的结果这是必要的,但作为”介率收敛性的严格证明”仅此是不够的,就是说还不是充分的.所以,需对其作严格证明.

θJ也记为θk,简记为θ,

由θ=∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²] ,pk中，k=1，2，3，…，n，…

相应有θ1, θ2, θ3, …, θn, …,一列有序的数,

称这为介率数列，记为｛θk｝．

根据收敛数列的有界性和极限存在准则，当k→∞,如果数列｛θk｝收敛于a，或者说a是数列｛θk｝的极限，记为

k→∞limθk＝a,

我们把a记为θ，则有

k→∞limθk＝θ.

现在对其作严格证明.

介率θ收敛性的严格证明

证明:

当pn→∞时，0.6601621＜θ＜0.6601622,这表明了θ的有界性.

下面给出极限θ存在的证明.

介率θ=∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²] ,在pk中，k=1，2，3，…,n，…

当∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²]中, k=1，2，3，…，…n时,

令∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²]=θn,

当pn+1→∞时,求极限lim∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²] ,

pk中，k=1，2，3，…,n, n+1,

pn+1→∞ lim∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²]

=θn lim∏[（p n+1－1）²－1]/ [（p n+1－1）²],

按罗彼塔法则,于是

pn+1→∞ θn lim∏[（pn+1－1）²－1]/ [（pn+1－1）²]

=θn, [(pn+1－1)²－1]＇/ [(pn+1－1)²]＇

=θn(2pn+1－2)/ (2pn+1－2)

=θn.

注意,在pn+1中, n+1为p的下标.

θn简记为θ.

所以, 介率∏[（pk－1）²－1]/ [（pk－1）²]收敛于θ,也就是θk的极限存在.

所以, 介率具有收敛性,且是单调一致收敛的.

证毕.

0.6601621＜θ＜0.6601622. 通常θ取值为0.66,即取θ=0.66.

作者 郭敦顒 2018年9月11日星期二