偶数2N的临界和素对定理（下）

郭敦顒

大连铁路机务段　116001；山东省金乡县南店子街　272200

3 偶数2N内的可植对与临界可植对

3.4 偶数2N内临界可植对素数个数的计算公式

定义25 偶数2N内临界可植对素数个数的基础计算值记为LZ1+1P(2N,l)0简记为LP(2N,l)0,解析式最小值记为LZ1+1P(2N)min,计算式如下:

3.4.1 偶数2N内临界可植对素数个数的综合性基础计算公式

LP(2N,l)0=(1/2)C2N(2N)(1+x)μ^2,x≤0.5 (46)

公式(46)的推导

因为, LP(2N,l)0=(1/2)C2N(2N)(μ+μHl)μ,

公式(41):μHl≤0.5μ,(μ+μHl)=μ(1+x),

与公式(40):x=μHl/μ≤0.5,

所以, LP(2N,l)0=(1/2)C2N(2N)μ(1+x)μ,

所以, LP(2N,l)0=(1/2)C2N(2N)(1+x)μ^2,x≤0.5.

推导完毕.

3.4.2 偶数2N内临界可植对素数个数的解析式最小值计算公式

LZ1+1P(2N)min≥2C2N(1+x)(2N)/[ln(2N)]^2,x≤0.5 (47)

公式(47)的推导

按公式(22)与(40):μn2=2/ln(2N);x=μHl/μ≤0.5.

对于公式(46),按素数定理,以 2/ln(2N)代替μ,在第2次代替时取最小值即取素数定理之1<A2<1.105中的1,即得公式(47).

所以,公式(47)更规范的表达是:

LZ1+1P(2N)min≥2C2N(1+x)•1•(2N)/[ln(2N)]^2,x≤0.5.

3.5 偶数2N内临界可植对合数个数的计算公式

定义26 偶数2N内临界可植对合数个数的基础计算值记为LZ1+1H<2>(2N)0,解析式最大值记为LZ1+1H<2>(2N)max,计算公式如下:

3.5.1 偶数2N内临界可植对合数个数的综合性基础计算公式

LZ1+1H<2>(2N)0=(1/2)C2N(1+x)x(2N)μ^2,x≤0.5 (48)

3.5.2 偶数2N内临界可植对合数个数的解析式最大值计算公式

LZ1+1H<2>(2N)max≤2C2N(1+x)•1.105x(2N)/[ln(2N)]^2,x≤0.5 (49)

按公式(22)与(40):μn2=2/ln(2N);x=μHl/μ≤0.5.

对于公式(48),按素数定理,以 2/ln(2N)代替μ,并在第2次代替时取最大值即取素数定理之1<A2<1.105中的1.105,即得公式(49).

注意:对于第1次的替代即对μ(1+x)中对μ的替代,对临界可植对素数与二素合数都是基于实际的同一的.

在这问题上,陈氏定理关注和给出的是:

ZH<2>+P(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2, pi|x,p>2

相对应的是,

ZH<2>+PH<2>(2N)min≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,pi|x,p>2

给出的是最小值.

而我们所需要与给出的是在这方面的最大值,就是如公式(49)给出的那样.

3.6 偶数2N内的临界和素对

3.6.1 偶数2N内的假设性临界和素对

(1) 偶数2N内的假设性临界和素对的概念

定义27 偶数2N的临界可植对奇数个数(可植点数)中含有临界素数与临界二素合数,假如全部临界二素合数都形成合素对,则消耗对应多的临界素数,是为假设性临界合素对素数的个数,记为LZH+PPS(2N);那么剩余的临界素数的个数记为

ÜLZ1+1P(2N)S.此时临界二素合数的个数称为假设性临界合素对二素合数的个数,记为LZH+PHS(2N),于是有如下公式,公式(50)与(52)在数值上对应成立:

LZH+PPS(2N)=LZ1+1H(2N) (50)

ÜLZ1+1P(2N)S=LZ1+1P(2N)－LZH+PPS(2N) (51)

ÜLZ1+1P(2N)S=LZ1+1P(2N)－LZ1+1H(2N) (52)

定理4 偶数2N的假设性临界和素对定理

按定义27，那么剩余的临界素数的个数ÜLZ1+1P(2N)S再无临界二合数与之对应,则必然构成和素对,是为偶数2N的假设性临界和素对,其对数记为

LP1+1(2N)S.于是,ÜLP(2N)S就成为了假设性临界和素对素数的个数LP1+1P(2N)S.

LP1+1P(2N)S=ÜLZ1+1P(2N)S (53)

LP1+1(2N)S=(1/2)LP1+1P(2N)S (54)

(2) 假设性偶数2N内临界和素对对数最小值的计算公式

根据公式(50)~(54)的论述,公式(47)与(49)两边相减,整理后即得假设性偶数2N内临界和素对对数最小值的计算公式:

LP1+1(2N)Smin≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2 (55)

公式(55)的推导证明

根据公式(47):LZ1+1P(2N)min≥2C2N(1+x)(2N)/[ln(2N)]^2,x≤0.5,

与公式(49):LZ1+1H<2>(2N,l)max≤2C2N(1+x)•1.105x(2N)/[ln(2N)]^2,x≤0.5,

公式(47)与(49)两边相减,得

LP1+1P(2N)Smin≥2(1+x)(1－1.105x)C2N(2N)/[ln(2N)]^2,x≤0.5,

所以,

LP1+1(2N)Smin≥(1+x)(1－1.105x)C2N(2N)/[ln(2N)]^2,x≤0.5

在上式中,(1+x)(1－1.105x)=1－0.105x－1.105x^2,0≤x≤0.5.

令y=1－0.105x－1.105x^2,x≤0.5,则

LP1+1(2N)Smin≥yC2N(2N)/[ln(2N)]^2,

因为,x≤0.5,

所以,y≥0.67.则得

公式(55):LP1+1(2N)Smin≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2.

推导证明完毕.

上式:y=1－0.105x－1.105x2为二次函数,就哥德巴赫猜想证明的总体而言,

定义域是：0≤x≤0.5,

值域是：1≥y≥0.67,（或表达为0.67≤y≤1）.

当取x=0时,则y=1,于是得到

P1+1(2N)=C2N(2N)/[ln(2N)]^2.

虽然明里这不在本论文的范围之内了,但实则后面给出的偶数2N的临界和素对定理P1+1(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,2N≥14,蕴涵了这一结果.所以，就哥德巴赫猜想证明的总体过程与意义上来说,偶数2N的临界和素对定理至为深远.

注意,公式(54)中的LP1+1(2N)S给出的是偶数2N内假设性临界和素对对数的概念的表达式,而公式(55)中的LP1+1(2N)Smin给出的则是偶数2N内假设性临界和素对对数最小值的表达式.

3.6.2 偶数2N内的临界和素对

定义28 偶数2N内的临界和素对记为LP1+1(2N),则有定理5.

定理5 偶数2N的临界和素对定理,表达为公式(56)\(57)与(58):

LP1+1(2N)≥LP1+1(2N)Smin (56)

P1+1(2N)≥LP1+1(2N) (57)

P1+1(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,2N≥14 (58)

论证

在形成假设性偶数2N内临界和素对数最小值的机理中,是基于偶数2N的临界可植对中二素合数全部构成合素对计算的,但临界可植对二素合数中是可能构成临界合合对的,实际构成的临界和素对等于或大于假设性的,所以公式(56)成立.公式(57)形成的机理与公式(56)形成的机理类同.连接公式(55)后得到公式(58).

4 偶数哥德巴赫猜想的证明

偶数哥德巴赫猜想的数学表达式是公式(2):P1+1(2N)≥1,

证明

已被证明的是:

定理5中:P1+1(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,2N≥14,

所以,P1+1(2N)≥1成立;

当2N<14时,实际检验的结果P1+1(2N)≥1成立.

所以, P1+1(2N)≥1总是成立的,

于是,任一大偶数均可表为两个素数之和,偶数的哥德巴赫猜想得到证明.

证毕.

5　奇数哥德巴赫猜想的证明

奇数的哥德巴赫猜想是指任一大于7的奇数均可表为三个素数之和，即表达为：J=PⅠ+PⅡ+PⅢ (59)

J为奇数, 2∤J,J>7,

因为,J=PⅠ+2N,PⅠ=3,5,7,…;

2N=PⅡ+PⅢ,2N≥6,

所以,J=PⅠ+PⅡ+PⅢ.

证毕.

奇数哥德巴赫猜想是偶数哥德巴赫猜想的推论.

偶数哥德巴赫猜想证明后,随之奇数哥德巴赫猜想即得到了普遍性地证明.而在

1937年有过的维诺格拉多夫的证明是特殊性的[5].

参考文献

[1] 中国科学技术文库•院士篇.117〜130

[2]\[4] 李文林编著，数学史教程[M]．北京，高等教育出版社　施普林格出版社，2000年8月.262\360

[3]\[4] 让•迪厄多内著,沈永欢译,当代数学 为了人类心智的荣耀[M].上海,上海教育出版社,1999年7月.105_107

[5] [美]阿尔伯特.H .贝勒著,数论妙趣—数学女王的盛情款待 [M],谈详柏译,上海教育出版社,1998年1月,第1版.253〜257,263,264

致 谢

作者仅是数学爱好者，水平有限，之所以能作出本文，除个人努力外，则首先是母校陈敬禹老师、宋则行教授传教的结果；数学研究所的艾树庭教授、巩馥洲教授,陕西省杨陵985农业科技大学教师数学博士郭翠萍女士都给予了帮助，作者的单位与家人提供了生活保障，都是因素。向所有帮助过作者的人士致谢！向期刊社的编辑们与其他同事致谢!

文中会存在不妥甚或错误之处，敬请专家与读者指正。谢谢大家！

作者 郭敦荣 2024年5月3日

作者简介

作者郭敦荣原名郭敦顒（1934——），男，汉族，生于山东省金乡县，唐郭子

仪48世孙；沈阳铁路局大连机务段退休干部，受过铁道部奖；1957年就读于东

北财经学院，是著名经济学家宋则行教授的学生。著有数学论文《哥德巴赫猜想

证明》\《数学纲领—微观数学与宏观数学》等，发表于博客中国。郭敦顒勤于

在百度知道栏目耕耘，为广大学生与其他网友解难答疑，已帮助了2760多万人，

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