偶数2N的临界和素对定理（上）

偶数2N的临界和素对定理

郭　敦顒

大连铁路机务段　116001；山东省金乡县南店子街272200

摘要：任一大偶数的三分素标(2N)^(1/3)筛余的奇数,除素数外其余全为二素因子合数.二素

合数与素数它们个数的关系按素标的大小而分层次.存在它们的比值小于0.5对应的最小素

标——临界素标pl及其对应的临界可植对LZ1+1(2N).在LZ1+1(2N)中,按素数定理,素数个数

有最小值,合数个数有最大值.若此LZ1+1(2N)中的合数都构成合素对,则消耗同样多的素数.

于是剩余的临界素数构成临界和素对LP1+1(2N),则有偶数2N的临界和素对定理:

P1+1(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,2N ≥14, 

C2N=∏{[(p-1)^2－1]/(p-1)^2}∏[(pi－1)/(pi－2)],p≥3,pi|(2N),

进一步得到任一大偶数均可表为两个素数之和.偶数的哥德巴赫猜想得到证明.

奇数的哥德巴赫猜想是前者的推论,于是得到了普遍性地证明.

关键词：哥德巴赫猜想;素数;二素合数;偶数的和素对;临界

MR(2000)主题分类号:00A07,11A41,11N35,11Y35

中图分类号：O15

On the Number Relationship between the Product of Two Prime Numbers and Prime Numbers in the Even Range

Guo Dun Yong

(Dalian railway locomotive depot Dalian ,116001,China;

Shandong jinxiang Nandianzi Street, 272200,China）

Abstract:The odd number of the remainder of the prime sieve (2N)^(1/3) inside any large even number,except for the prime number, the rest are all the composite numbers of the two prime factors,The theirs number relation of two prime product and prime number,graded according to the size of the prime sieve.There is a minimum plain sieve corresponding to their ratio less than 0.5——Critical sieve pl,and its corresponding likelihood of critical sum prime pairs LZ1+1(2N).In LZ1+1 (2N), according to the prime theorem, the number of prime numbers has a minimum value and the number of composite numbers has a maximum value.If all the composite numbers in LZ1+1(2N) constitute pairs of composite and prime numbers,the same number of prime numbers will be consumed, so the remaining critical prime numbers constitute a critical sum prime pair LP1+1(2N).there is the critical sum prime pair theorem of even 2N:

P1+1(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,2N ≥14 

C2N=∏{[(p-1)^2－1]/(p-1)^2}∏[(pi－1)/(pi－2)],p≥3,pi|(2N),

It is further obtained that any large even number can be expressed as the sum of two prime numbers,the Goldbach conjecture of even number has been proved.The Goldbach's conjecture of odd number is the corollary of the former, so it has been universally proved.

Keywords:Goldbach conjecture;Prime number;Two prime product′s composite number;Even′s sum prime pairs; Criticality

MR(2000)Subject Classification:00A07, 11A41,11N35, 11Y35                 

Chinese Library Classification:O15

0  引言

任何命题都有其命题成立与否的条件,然后进行论证,最后判断得出结论——命题成立与否,就是判定命题的真伪.所谓进行论证,就是给出证明的方法与过程.方法重要,过程同样重要.没有过程则不能显示方法.有些过程非常重要,过程未到终结,往往在不到半程中就能看出命题成立与否的端倪,得出决定性结论.求偶数2N和素对的多少,证明其存在性,就属于这种情况.而证明的关键在于揭示出偶数的三分素标筛余二素合数与素数它们个数多少的关系.

陈景润证明的是[1]:

命Px(1,2)为适合下列条件的素数p的个数:

x－p=p1或x－p=p2p3

其中p1,p2,p3都是素数.

用x表一充分大的偶数.

命Cx=∏[(pi－1)/(pi－2)]∏[(p-1)^2－1]/(p-1)^2,pi|x,p>2.

得到定理1：Px(1,2)≥0.67xCx/(logx)^2

的证明.

自然对数的符号log现今记为ln.

陈景润证明的定理,得到了国际上的认可,被誉为陈氏定理.

陈氏定理在逻辑上来说属于相容性的选言判断.

Px(1,2)≥0.67xCx/(logx)^2

按照本文表达的方式是:

定理5中的公式(58):P1+1(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,2N)≥14,

或ZH<2>+P(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2.            

两式中的C2N相当于Cx,2N=x.

陈景润证明论文的标题是:

大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和

这就是说,ZH<2>+P(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,

得到了证明,这是在哥德巴赫猜想证明中的一个过程.

因为陈氏定理在逻辑上来说属于相容性的选言判断,肯定后一选言肢,并不否定前一选言肢,只是尚未得到证明而已.这正是留给后人要证明的.

本文要证明的就是这一命题:

P1+1(2N)≥0.67C2N(2N)/[ln(2N)]^2,2N ≥14,

其中,C2N=∏{[(p-1)^2－1]/(p-1)^2}∏[(pi－1)/(pi－2)],p≥3,pi|(2N).

对这一命题的证明,则是在哥德巴赫猜想证明中继陈氏定理之后的最关键性具有决定性意义的一个过程.

证明的内容由正文给出.

再则需要说明的是:关于数学符号方面的问题.

(一)  各种数学运算符号按常规的规定运用.

(二)  不同性质数的意义与在偶数2N内的量值在相应的定义内给出.

1,  自然数与奇素数分别以常规性的N与P给出.于是2N表示偶数,而小于√(2N)的奇素数称为素标则用小写p表示.

2,  除自然数与奇素数外其它性质的数,一般按其意义用汉语拼音符号给出,如奇数表示为J,合数与对应于2N的余数分别表示为H与Y,等等;率值类的符号常用小写希腊字母表示,如奇素数率表示为μ,介率表示为θ;其它,如同余序数符号等不一而举.

3,  对应于2N的两数之和的数对,同性质的用主体加小两号的字体1+1表示(表示下标,避免网络传送时的失真),如奇数对\和素对与可植对分别表示为J1+1\P1+1与Z1+1,数对中两数不同性质的则在其下标1+1处代之以表其性质的符号,如临界合余对表示为LZH<2>+Y.

4,  不同性质的数或数对在2N内的量值按常规函数F(x)或f(x)的方式给出,在这里x=2N.如偶数2N内奇素数的个数与奇合数的个数分别表示为P(2N)与H(2N),

偶数2N内和素对的对数表示为P1+1(2N),和素对素数的个数表示为P1+1P(2N),

偶数2N内临界合余对的对数表示为LZH<2>+Y(2N)等等.

还有,虽然哥德巴赫猜想的证明是极为深奥的,但本论文写得却甚为浅易,由最基本的概念写起,循序渐进,每一定理都经过了逻辑上的严格证明,只是概念较多而已.因此,对本文只要静心来读,高中学生甚至初中生也能读得懂.

1  植筛法基础

1.0  哥德巴赫猜想的基本概念

哥德巴赫猜想包含偶数哥德巴赫猜想与奇数哥德巴赫猜想两部分[2]:

偶数哥德巴赫猜想就是任一大于4的偶数均可表为两个素数之和的命题;

奇数哥德巴赫猜想就是任一大于7的奇数均可表为三个素数之和的命题.

这是一七四二年,哥德巴赫写信给欧拉时提出的.

1.1偶数哥德巴赫猜想命题的数学表达式与素标

1.1.1  偶数表为两个素数之和的表达式

定义1   偶数表为两个素数之和的表达式 

若一个偶数是两个素数之和，则称这两个素数为该偶数的和素对,称其中的每一个素数为该偶数的和素对素数.

　偶数2N>4,PⅠ\PⅡ都是素数,若

2N=PⅠ+PⅡ,PⅠ≤N≤PⅡ  (1)

则称“PⅠ与PⅡ”是偶数2N的和素对,PⅠ与PⅡ都是偶数2N的和素对素数.

称(1)式为偶数表为两个素数之和的表达式..

和素对对数的计数单位记为P1+1,

和素对素数个数的计数单位记为P1+1P.意为后一个P,P1+1是P的属性.

1.1.2  偶数哥德巴赫猜想命题的数学表达式

偶数哥德巴赫猜想命题的数学表达式是:

P1+1(2N)≥1                                         (2)

P1+1(2N)——偶数2N 内和素对的对数.

1.1.3  素标

定义2  小于√(2N)的素数称为偶数2N的素筛,也称为筛标或素标,记为pk

k＝1,…,n,pn=pmax<√(2N),p1=3.

(pi,pj)∈pk,pi|(2N),pj∤(2N),

i=1,2,…,a,j=1,…,b,a＋b=n.

pi或pj其中之一类可以不存在,但仅当2N=6和2N=30时,pj不存在.

素标的素数符号用小写p表示.

(1)  二分素标

定义3  小于√(2N)的最大素数称为偶数2N的二分素标,记为pn.

n——pn区间内素数的个数, n=P(pn)                         (3)

偶数2N的标准二分素标记为(2N)^(1/2).

(2)  三分素标

定义4  大于(2N)^(1/3)的最小素数称为偶数2N的三分素标,记为pf，

 f是素标的序数,f=P((2N)^(1/3))                             (4)

偶数2N的标准三分素标记为(2N)^(1/3),也记为pF.

(3)  临界素标

定义5  由不小于三分素标构成的二素合数与素数它们个数的比值≤0.5所对应的最小素标称为临界素标,记为pl.关于临界素标,在之后将详细阐明. 

(4)  pm素标

定义6  偶数2N的任一确定的素标称为pm素标,于是，

      pm∈pk,3≤pm≤pn,

m=P(pm),p1=3                                      (5)

1.2  植筛法的概念

植法就是广义筛法,也称为植筛法,是借鉴了算术中的植树问题建立的.植法的基本观点不仅是在森林中伐木留苗,而更是在空地上留地（非植树点）植树造林.

1.2.1  植筛法的主要方法

植筛法的主要方法有以爱拉托斯特尼筛法[3]为标志的古典筛法与以素数定理[4]为内容的解析式方法,对它们在后面都将有详细介绍和应用.

1.2.2  奇合数与余数

定义7  奇合数与余数

若   Hx+Yx=2N                                  .      (6)

则称Hx为px标奇合数(之后均省称为合数),称Yx为2N的px标合数的余数.余

数通记为Y,Y是偶数2N对于合数H的余数.于是一般地有

H＋Y=2N                    (7)

1.2.3  同余序数的概念

(1)  偶数的同余序数

定义8  偶数的同余序数

在同余式

2N≡2D(modpx),0≤D≤px－1

中,称D为偶数2N的素标模Px的同余序数,记为(2N)D(px),简记为(2N)D(x),则有

 (2N)D(x)=D,0≤D≤px－1                        (8)

在(8)式中,等号左边的D为偶数的同余序数符号,右边的D为同余序数的值.

(2)  奇数的同余序数

定义9  奇数的同余序数

J是奇数,在同余式

J≡2d(modpx),0≤d≤px－1

中,称d为奇数J的素标模px的同余序数,记为(J)d(Px),简记为(J)d(x),则有,

(J)d(x)=d        (9)

在(9)式中,等号左边的d为奇数的同余序数符号,右边的d为同余序数的值.

1.3偶数2N和素对素数筛法顺序的方式与过程简述

偶数和素对素数筛法顺序的方式有后继式与并进式两种.

1.3.1  偶数2N和素对素数筛法顺序的后继式

求2N和素对素数筛法运算顺序的后继式,是指在第一步先期筛法求出区间内素数及其个数;第二步后继性地筛去与2N相同px模同余序数的素数 (合素对素数——合数的余数),剩余素数则为和素对素数的方式方法.

1.3.2  偶数2N和素对素数筛法顺序的并进式

求2N和素对素数筛法运算顺序的并进式,是指在筛法运算时按素标逐阶将合数与余数同时筛除的方式.并进式植筛法的优点是:

(1) 被同时筛除的合余数具有统一对称性,因而保证了筛余的素对素数的统一对称性,从而必然地形成了和素对,直表了命题的要求.

(2) 重要的是,导致了偶数2N的临界和素对定理的发现和产生.

任何不能保证是对称性的筛除奇数的运算,其剩余就不能保证是对称性的,也就不能证明哥德巴赫猜想.

1.4  偶数2N内合数筛法系统与素数个数的计算公式

定义10  偶数2N内奇数\奇合数与奇素数它们的个数分别记为J(2N)\H(2N)与P(2N),于是有,

J(2N)=N                                          (10)

J(2N)=H(2N)+P(2N)                                (11)

1.4.1  偶数2N内pm素标合数筛余的奇数个数与剩余奇数率

求区间内素数及其个数的爱拉托斯特尼筛法,就是按素标逐阶筛去对应合数的方法.

定义11  偶数2N内pm素标合数筛余奇数的个数记为üJ(m,2N),其剩余奇数率的实际值\古典筛法值与解析值分别记为μm\μm1与μm2定义式是：

μm=[1/(2N)]üJ(m,2N)                                (12)

μm1=∏(1－1/p),3≤p≤pm                              (13)

μm2=2/ln(pm)                                       (14)

μm是广义的,m=f时,有μf ;m=n时,有μn.μ称为奇素率,μn1称为古典素率,μn2称为解析素率.

μ=p(2N)/N                                        (15)

1.4.2  偶数2N内素数个数的古典筛法近似值

当m=n时,üJ(m,2N)=P(n,2N),P(n,2N)的标准记法是P(n,2N)1.

P(n,2N)称为偶数2N内素数个数的古典筛法近似值,于是

P(n,2N)=(2N/2)∏(1－1/pk),k=1,2,…,n                (16)

1.4.3  素数定理与解析式自然数x内素数个数的近似值计算公式及素率

(1)  素数定理 

定理1  即素数定理[4],表达为:

当自然数x→∞时,lim[π(x)/(x/logx)]=1                   (17) 

A1<[π(x)/(x/logx)]<A2               (18) 

成立,其中0.922<A1<1,1<A2<1.105,π(x)——x内素数的个数,含2.

自然对数的符号log当今表达为ln.

(2)  解析式自然数x(或2N)内素数个数的近似值计算公式

对于公式(17)与(18),当取x=2N时,π(x)取P(2N)——偶数2N内奇素数的个数,则其素数个数的范围:

按公式(18),当取0.922<A1<1,2N较小时有

0.922(2N)/[ln(2N)]<P(2N)<(2N)/[ln(2N)]               (19)

在2N较大范围内,取1<A2<1.105时,则有  

(2N)/[ln(2N)]<P(2N)<1.105(2N)/[ln(2N)]                (20)  

(3) 偶数2N内奇素数的解析式素率

定义12  偶数2N内奇素数的解析式素数个数及其素率分别记为P(2N)2与μn2,

定义式是:

P(2N)2=2N/ln(2N)                                  (21)

μn2=[2N/ln(2N)]/(2N/2)=2/ln(2N)                      (22)