偶数2N的临界和素对定理（中）

郭敦顒

大连铁路机务段　116001；山东省金乡县南店子街　272200

2 偶数2N标准三分素标合数筛(剩)余奇数的组成——二素合数与素数

在定义4中,给出了偶数2N三分素标的概念.

2.1 偶数2N的二素合数定理

定理2 偶数2N的二素合数定理

偶数2N内由不小于三分素标构成的合数全为二素合数,此为二素合数定理.二素合数记为H<2>,是指其合数为两个素数之积:

H<2><2N,

H<2>=pt•Pr (23)

pt为素标,pf≤pt≤pn=pmax<√(2N).

证明

若有一H<2>为三素合数.因为(pf)^3是最小的三素合数,应有

H<2>≥(pf)^3,pt•pf•P>(pf)^3, P>pt,

但(pf)^3＞2N,于是H<2>>2N,这与H<2><2N矛盾,

所以,H<2>不是三素合数,只能是二素合数.

证毕.

2.2 偶数2N内标准三分素标筛余奇数的解析式近似值

2.2.1 偶数2N内解析式近似值标准三分素标合数筛余奇数个数的概念

定义13 偶数2N内解析式近似值标准三分素标合数筛余奇数个数的符号

偶数2N内标准三分素标筛余奇数\合数与素数它们个数的解析式近似值分别记为:J(F,2N)2\H(F,2N)2与P(F,2N)2,P(F,2N)2简为P(2N)2.

注意,式中的合数H是二素合数H<2>的简记.

定义14 偶数2N内解析式素标pF的剩余奇数率与二素合数率

偶数2N内解析式素标pF的剩余奇数率(即筛余率)记为μJF2,其中二素合数率记为μHF2,定义式是:

μJF2=1/[ln (2N)^(1/3)]=3/ln (2N) (24)

μHF2=μJF2－μn2=1/ln (2N) (25)

按定义12,偶数2N内解析式奇素数素率为μn2,μn2=2/ln(2N),于是

μHF2=0.5μn2 (26)

2.2.2 偶数2N内解析式标准三分素标筛余奇数个数近似值的计算公式

根据定义13与14有下列公式:

J(F,2N)2=(2N/2)/[ln (2N)^(1/3)]=3N/ln(2N) (27）

J(F,2N)2=H(F,2N)2+P(2N)2 （28）

H(F,2N)2=N/ln(2N) （29）

2.3 偶数2N内由不小于三分素标构成的二素合数个数的计算方法及其个数

定义15 在公式(23):H<2>=pt•Pr的Pr中,PR是最大者,即PR=Prmax..

偶数2N内pt标单项二素合数的个数记为H<2>(2N,pt),简记为H<2>t,于是有计算公式:

H<2>t=R－t+1 (30)

定义16 偶数2N内由不小于三分素标构成的二素合数的个数总和记为H<2>(2N,f),于是有计算公式:

H<2>(2N,f)=∑(R－t+1),f≤t≤n (31)

R\ f\t\n都是奇素数的序数.

注意，(F,2N)与(2N,f)及类似符号意义的同异点，

同点：2N表偶数及其范围,就是2N内;

异点:2N左侧符号表特定筛余性质的标记, 2N右侧符号表主体内容组成性质的标记.

3 偶数2N内的可植对与临界可植对

3.0 奇数对的概念

定义17 若一个偶数2N是两个奇数JⅠ与JⅡ之和，则称这两个奇数为该偶数的奇数对,奇数对的计数单位记为J1+1,2N内奇数对的对数记为J1+1(2N),于是有,

2N=JⅠ+JⅡ,JⅠ≤N≤JⅡ

J1+1(2N)=2N/4 (32)

3.1 偶数2N内的可植对

3.1.0 可植对与可植点的概念

定义18 偶数2N内特定合余对其对数记为JH+Y(2N,T),JH+Y(2N,T)筛余的奇数对的对数记为ÜJ1+1(T,2N).ÜJ1+1(T,2N)存在可能性的和素对,称为可植对,其对数记为Z1+1(2N).所以说Z1+1(2N)就是ÜJ1+1(T,2N)的特记.可植对的每一数点称为可植点,其个数记为Z1+1Z(2N).可植点包含合数点与素数点,它们的个数分别记为Z1+1H(2N)与Z1+1P(2N),以上各表达式中的(2N)是(T,2N)的简记,于是有下列公式:

Z1+1(2N)=J1+1(2N)－JH+Y(2N,T) (33)

(34)式在数值上,

Z1+1Z(2N)=2Z1+1(2N) (34)

Z1+1Z(2N)=Z1+1H(2N)+Z1+1P(2N) (35)

3.1.1 偶数2N内m阶可植点数的古典筛法近似值计算公式

定义19 偶数2N内m阶可植点数的古典筛法近似值记为Z1+1Z(m,2N)1，计算式是：

Z1+1Z(m,2N)1=(2N/2)∏[(p－1)/p]∏[(p－2)/(p－1)]∏[(pi－1)/(pi－2)]

3≤p≤pm,pi|(2N), (36)

其中,∏[(p－2)/(p－1)]=φ,3≤p≤pm,φ称为狭义偶数余数剩余率.

3.1.2 介率

定义20 介率记为θ,计算式是:

θ=∏[(p－2)/(p－1)]/∏(1－1/p)^2=∏{[(p-1)^2－1]/(p-1)^2},p≥3 (37)

0.6601611<θ<0.6601612

θ=0.66016118158468695739278121100145…,

于是有,

φ=θμm1=μm1∏[(p-1)^2－1]/(p-1)^2],3≤p≤pm (38)

3.2 偶数2N内临界可植对对数的概念与组成

按定义5:由不小于三分素标构成的二素合数与素数它们个数的比值≤0.5所对应的最小素标称为临界素标,临界素标记为pl.于是有定理3.

定理3 偶数2N的临界素标pl存在

证明

二素合数与素数它们个数的关系按素标的大小而分层次.

当H<2>(2N,f)/[P(2N)]≤0.5时,pl=pf;

当H<2>(2N,f)/[P(2N)]>0.5时,pf<pl≤pn.

总起来说是:pf≤pl≤pn.

所以,pl是存在的.

证毕.

3.2.1 偶数2N内临界二素合数的个数及其率值

定义21 偶数2N内临界二素合数的个数记为LH<2>(2N),其率值记为μHl;与素数个数的比记为BH<2>/P,也记为x,定义式是:

μHl=LH<2>(2N)/N (39)

于是有,

BH<2>/P=x=LH<2>(2N)/P(2N)=μHl/μ≤0.5 (40)

μHl≤0.5μ (41)

3.2.2 偶数2N内临界可植对对数的概念

定义22 偶数2N内的临界可植对就是筛去小于临界素标pl合余对后剩余的可植对,其对数记为LZ1+1(2N),临界可植点数记为LZ1+1Z(2N),在数值上,

LZ1+1(2N)=(1/2)LZ1+1Z(2N) (42)

3.2.3 偶数2N内临界可植对对数与可植点数的组成

定义23 偶数2N内临界可植对包含临界合余对与和素对,它们的对数分别记为

LZH<2>+Y(2N)与P1+1(2N),LZH<2>+Y(2N)简记为LH<2>+Y(2N).临界可植点包含临界二素合数与临界素数,它们的个数分别记为LZ1+1H<2>(2N)与LZ1+1P(2N),于是有下列计算公式:

LZ1+1(2N)=LZH<2>+Y(2N)+P1+1(2N) (43)

LZ1+1Z(2N)=LZ1+1H<2>(2N)+LZ1+1P(2N) (44)

3.3 偶数2N的余数剩余率转为素率的变换系数

定义24 偶数2N的余数剩余率转为素率的变换系数记为C2N,计算式是:

C2N=∏{[(p-1)^2－1]/(p-1)^2}∏[(pi－1)/(pi－2)],p≥3,pi|(2N) (45)

其中,θ=∏[(p-1)^2－1]/(p-1)^2.

C2N在陈氏定理中记为Cx.在这里,x=2N.